Carré magique d'ordre impair - n = 2 k + 1

La Méthode Eric Sizaret ( 2004 )

Commentaire et Explications de René Descombes

Cette méthode qui s'applique aux carrés magiques d'ordre impair, est expliquée pas à pas, avec un exemple d'application pour l'ordre n = 9.

I . On procède enceinte par enceinte, en commençant par la première enceinte, ou enceinte extérieure, de côté 

a = n . Le nombre A de cases de l'enceinte de côté a est: A = 2 a + 2 ( a - 2 ); avec a = 9, on a: A = 32 cases.

On sélectionne dans le carré naturel de même ordre, les premiers termes en nombre égal à ( ½ A), dits «petits entiers», ainsi que leurs complémentaires à  ( n2 + 1 ), dits «grands entiers». On rappelle que les nombres complémentaires sont symétriques, dans le carré naturel, par rapport au centre de la grille ( cf. grille I ci-dessus ).

Soit dans notre exemple, pour n = 9, les 16 premiers termes, et les 16 derniers termes de la série ( 1, n2 )

On va d'abord placer les «petits entiers» dans la première enceinte, soit les 16 premiers termes de notre exemple, de la façon suivante, par étapes successives, en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre:

1. première ligne: 1, 2, 3, 4…jusqu'à x, à partir de la seconde case, et jusqu'à la case du milieu comprise:

        Dans l'exemple ci-dessus  ( n = 9 ), on a x = 4.

2. dernière colonne ( colonne de droite ): ( x + 1 ), ( x + 2 ), … jusqu'à y, à partir de la seconde case, la case 

              du milieu exclue. Dans notre exemple: 5, 6, 7 et y = 7.

3. dernière ligne ( ligne du bas ): ( y + 1 ), ( y + 2 )…..jusqu'à z, à partir de la seconde case, la case du milieu 

exclue. Dans notre exemple: 8, 9 10, et z = 10.

4. dernière case de ligne du bas( dans l'angle inférieur droit ): z + 1, soit dans notre exemple: 10 + 1 = 11.

5. première case de la ligne du bas ( dans l'angle inférieur gauche):  z + 3, soit dans notre exemple: 10 + 3 = 13.

6. première colonne ( colonne de gauche ):  ( z + 4 ), ( z + 5 )…en descendant dans les cases libres, à partir de la

 case située au dessous de la case du milieu de la colonne: soit 14, 15, 16 dans notre exemple.

7. Case du milieu de la première colonne (colonne de gauche ): z + 2; soit 10 + 2 = 12 dans notre exemple.

8. Tous les «petits entiers» ayant été placés, on inscrit leurs complémentaires, les «grands entiers» à l'autre extrémité des  lignes, colonnes et diagonales principales correspondantes  (cf. grille II de droite ci-dessus)

La première enceinte se trouve ainsi entièrement remplie en 8 étapes spécifiques.

II. On procède exactement de la même façon, mutatis mutandis, pour les autres enceintes.

Ainsi pour la seconde enceinte, de côté a = n - 2,  soit a = 7 dans notre exemple, on aura, avec a = 7:

A = 2 a + 2 ( a -  2 ) = 24

On sélectionne les 12 «petits entiers» de la série restant dans le carré naturel, ainsi que leurs        

12 complémentaires dits «grands entiers» ( cf. grille III ci-dessous )

La seconde enceinte se remplit suivant le même processus-type que pour la première enceinte ( cf grille IV 

ci-dessous )

1	2	3	4	5	6	7	8	9			71	1	2	3	4	72	73	74	69
10	11	12	13	14	15	16	17	18			77	58	17	18	19	59	60	56	5
19	20	21	22	23	24	25	26	27			76	62						20	6
28	29	30	31	32	33	34	35	36			75	61						21	7
37	38	39	40	41	41	43	44	45			12	25						57	70
46	47	48	49	50	51	52	53	54			14	27						55	68
55	56	57	58	59	60	61	62	63			15	28						54	67
64	65	66	67	68	69	70	71	72			16	26	65	64	63	23	22	24	66
73	74	75	76	77	78	79	80	81			13	81	80	79	78	10	9	8	11
III											IV Seconde enceinte : a = 7

On a détaillé ci-après le remplissage des deux enceintes suivantes: grilles V, VI et VII, VIII.

Les constantes magiques des enceintes sont: M9 = 369; M7 = 287; M5 = 205; M3 = 123; avec = n2 + 1 = 82

1	2	3	4	5	6	7	8	9			71	1	2	3	4	72	73	74	69
10	11	12	13	14	15	16	17	18			77	58	17	18	19	59	60	56	5
19	20	21	22	23	24	25	26	27			76	62	49	29	30	50	47	20	6
28	29	30	31	32	33	34	35	36			75	61	51				31	21	7
37	38	39	40	41	41	43	44	45			12	25	34				48	57	70
46	47	48	49	50	51	52	53	54			14	27	36				46	55	68
55	56	57	58	59	60	61	62	63			15	28	35	53	52	32	33	54	67
64	65	66	67	68	69	70	71	72			16	26	65	64	63	23	22	24	66
73	74	75	76	77	78	79	80	81			13	81	80	79	78	10	9	8	11
V											VI Troisième enceinte : a = 5

1	2	3	4	5	6	7	8	9			71	1	2	3	4	72	73	74	69
10	11	12	13	14	15	16	17	18			77	58	17	18	19	59	60	56	5
19	20	21	22	23	24	25	26	27			76	62	49	29	30	50	47	20	6
28	29	30	31	32	33	34	35	36			75	61	51	44	37	42	31	21	7
37	38	39	40	41	41	43	44	45			12	25	34	39	41	43	48	57	70
46	47	48	49	50	51	52	53	54			14	27	36	40	45	38	46	55	68
55	56	57	58	59	60	61	62	63			15	28	35	53	52	32	33	54	67
64	65	66	67	68	69	70	71	72			16	26	65	64	63	23	22	24	66
73	74	75	76	77	78	79	80	81			13	81	80	79	78	10	9	8	11
VII											VIII Quatrième enceinte : a = 3

Le carré magique à enceintes est achevé.

Remplissage de la grille centrale de 9 cases.

Le remplissage de cette grille s'opère facilement en ordonnant les 9 nombres non utilisés dans les enceintes, et qui apparaissent clairement dans le carré-naturel-témoin ( VII ), par analogie avec l'une des formes du Lo Shu, soit avec une constante d'addition C = 36, sur chaque terme du Lo Shu. Il y ainsi 8 solutions pour cette grille centrale.	8	1	6
	3	5	7
	4	9	2

Autres exemples d'application de la   Méthode d'Eric Sizaret, ordres impairs.

        n = 5:  M5 = 65; M3 = 39

21	1	2	22	19
23	16	9	14	3
6	11	13	15	20
8	12	17	10	18
7	25	24	4	5

n = 11:  M11 = 671; M9 = 549; M7 = 427; M5 = 305; M3 = 183; avec = n2 + 1 = 122

108	1	2	3	4	5	109	110	111	112	106
116	91	21	22	23	24	92	93	94	89	6
115	97	78	37	38	39	79	80	76	25	7
114	96	82	69	49	50	70	67	40	26	8
113	95	81	71	64	57	62	51	41	27	9
15	32	45	54	59	61	63	68	77	90	107
17	34	47	56	60	65	58	66	75	88	105
18	35	48	55	73	72	52	53	74	87	104
19	36	46	85	84	83	43	42	44	86	103
20	33	101	100	99	98	30	29	28	31	102
16	121	120	119	118	117	13	12	11	10	14

III. Une méthode variante.

      Une seconde méthode variante, est dérivée de la méthode précédente: on place les nombres en sautant 

      une case. Exemple ci-dessous, avec n = 9, avec les mêmes constantes magiques des enceintes que dans  

      l'exemple précédent:

21	1	72	2	73	3	74	4	69
16	58	17	59	18	60	19	56	66
77	28	49	29	50	30	47	54	5
15	62	36	44	37	42	46	20	67
76	27	51	39	41	43	31	55	6
14	61	34	40	45	38	48	21	68
75	25	35	53	32	52	33	57	7
12	26	65	23	64	22	63	24	70
13	81	10	80	9	79	9	78	11

IV . Dénombrement.

On peut permuter les petites sous-séries de «petits entiers» consécutifs.

Exemple pour n = 9, dans lequel les cases ombrées peuvent être permutées, et la grille centrale remplie sur une autre forme du Lo Shu:

Les constantes magiques des enceintes sontles mêmes que précédemment pour n = 9.

Dans ce cas, pour n = 9, le nombre de solutions différentes s'établit comme suit, au minimum: Enceinte extérieure: 4! x 3! x 3! x 3! = 5 184 Seconde enceinte:    3! x 2! x 2! x 2! =      48 Troisième enceinte:  2!                         =        2 Grille centrale:                                                 8 solutions  Soit au total: 3 981 312 solutions!   Cette méthode est donc très prolifique.		71	4	1	3	2	74	73	72	69
		75	58	19	18	17	60	59	56	7
		77	61	49	30	29	50	47	21	5
		76	62	51	38	43	42	31	20	6
		12	25	34	45	41	37	48	57	70
		16	28	36	40	39	44	46	54	66
		14	27	35	52	53	32	33	55	68
		15	26	63	64	65	22	23	24	67
		13	78	81	79	80	8	9	10	11

V. Remarques

        Le principe de construction de cette méthode est le même que celui employé dans la «Méthode par enceintes d'Arnauld-Pascal», applicable aux ordres pair et impair.

 Cf. René Descombes - Carrés Magiques - Vuibert 2000 - pp. 244-253.

On pourra également consulter les Méthodes de Michael Stifel, établies sur le même principe

 ( voir dans le même site la présentation de ces méthodes pour les ordres impair et pair )